基于压缩感知的信号欠采样和重建研究

引言

传统的数字信号处理以奈奎斯特采样定理作为基础，在模拟/数字信号的转换过程中，采样频率大于信号最高频率的2倍，才能从采样得到的数字信号中无失真地恢复原始信号。在实际应用中，为保证信号处理效果一般采样频率为信号最高频率的3倍以上，采集到的冗余数据在后续处理阶段再滤除。然而,随着当前日益增加的信息需求量，信号频率越来越高，带宽越来越宽，在信息获取中对采样速率、处理速度和信息存储空间等提出越来越高的要求。这将造成对ADC和处理器的性能要求更高以及数据存储和传输的压力。但是，在许多情况下，信号是稀疏和冗余的，在某些变换域是可压缩的，在处理过程中冗余信息将被丢弃，多余的数据就造成了资源的浪费。针对这个问题，在过去的几年，一种新的理论压缩感知被提出来，它的核心思想是通过很少的非适应性，凸优化的线性测量来恢复稀疏信号。压缩感知的理论基础是建立在以下领域并发展而来,例如应用谐波分析、框架理论、拓扑几何、优化理论和矩阵分析等。在该理论下，信号的采样速率不再取决于信号的带宽,而是取决于信息在信号中的结构与内容，因此在满足信号的可压缩性以及表示系统与观测系统的不相关性两大条件下，从低分辨观测中恢复高分辨信号就成为可能。

压缩感知理论主要涉及三个核心问题：一是信号的稀疏表示；二是非相干测量矩阵设计；三是信号重建算法优化设计。在应用研究方面，其影响已经涉及很多应用科学，如无线电通信的认知无线电方向和信道编码、阵列信号处理、雷达成像、图形图像处理、生物传感、模拟信息转换等。利用压缩感知理论,模拟信息转换器被设计用来在较低速率下获取样本，然后在后端DSP成功恢复感兴趣的压缩信号。模拟信息转换器可以代替传统的ADC,以较低的速率对高速模拟信号进行实时采样，获取所关心的信息，有效解决了传统采样理论遇到的瓶颈。

压缩感知理论最初是针对离散信号提出来的，把它应用到模拟信号的研究目前处于起步阶段，存在很多困难。模拟信息转换需要能够实时采样连续信号，而不能直接使用离散信号的测量矩阵，同时要求数字处理器有较强的运算能力，能够及时对高速信号进行感知，硬件实现困难。因此，该算法的复杂度优化和硬件可实现性成为压缩感知应用的关键点之一。

本文首先对压缩感知的基本理论进行了研究，对比分析了三种模拟信息转换器，介绍了常用重建算法，并通过仿真验证了模拟信息转换-信号重建结构的可行性，分析了实现结构的性能。最后，进行了总结并对压缩感知的研究趋势进行了展望。

1压缩感知原理

图1所示是信号压缩感知的结构图。假设信号X为我们感兴趣的原始信号长度为N且具有K稀疏性，即指它们有很少的非零系数，或用一组基底展开后xw，大多数系数为0,或者绝对值较小。可将对信号X的观测抽象为用一MXN的矩阵垂MN)与信号X进行乘积，即可以表示为y=^x或者y=。压缩感知问题就是在已知测量值y和测量矩阵虫的基础上，求解欠定方程组y=®x得到原信号x的过程，该过程需要求解以下最优化问题：

x=argmins.t.Ux=y

求解过程就是得到重建信号x的过程。

压缩感知理论的提出者Candes,Romberg,Tao[3]和Donoho[4]证明了信号是K稀疏的或者在一个基电展开后是可压缩的就能从少量非自适应性线性不相关测量值中得到恢复。

由于上式的求解是个NP-HARD问题，而该最优化问题和信号的稀疏分解非常相似，所以，从信号稀疏分解的相关理论中寻找更有效的求解途径就成为一些学者的研究内容之一。有文献表明电，在最小范数下，在一定条件下和L的最小范数具有等价性，它们可得到相同的解。那么上式转化为11最小范数下的最优化问题为：

min|s.t.y=

这个最优化问题又称为基追踪(BasisPursuit，BP)。为了克服采用基追踪算法进行信号重建中出现的计算速度慢的问题，同时也为了提高计算精确度，正交匹配追踪(OMP)等贪婪算法常被用来重建信号。

压缩感知最初只是针对离散信号处理应用的，但是，很多时候我们都需要接收处理连续模拟信号，因此，有必要把压缩感知理论扩展到模拟信号领域。于是，基于压缩感知理论的模拟信息转换器就可以设计出来。

2模拟信息转换器

利用基于压缩采样原理设计的模拟信息转换器能够降低当前超高采样率对超速高分辨率ADC器件和数字处理器带来的压力，减少存储空间。模拟信号x(t)通过AIC模拟信息转换器完成模拟信号到信息数据的采集，能大大降低数据采集量，然后通过数字信号处理器完成信号重建和相关处理后输出。典型的模拟信息转换器(AIC)的结构如图2所示。

文献[6]提出了一种基于伪随机解调和低速率采样的实用AIC结构。该结构的AIC实现结构简单，能够有效采集大部分可压缩信号，图3所示就是伪随机解调结构图。

模拟输入信号x(t)经过伪随机序列pc(t)解调后，可用模拟低通滤波器滤波，这样就可以用低速ADC进行采样而直接得到低速率信息。模拟信号x(t)仅有有限的信息率，那么,在连续函数组成的字典中,x(t)可以表示为：

在a中只有少量的非零值，因此，信号x是稀疏的。尽管每个字典原子我也许有比较高的带宽，但信号本身只有很少的自由度。因此，在信号稀疏度水平的若干倍上采样，而不是用奈奎斯特采样率。

输出信号y[m]可表示为：

模拟低通滤波器的设计将直接影响信号的重建效果，并且由于各采样点之间具有较大的相关性，性能有待提高，因此可以设计直接型AIC[7]和分段型AIC[8]。直接型AIC性能最优，但是往往需要数量庞大的相关积分支路，当信号稀疏度较大时,硬件复杂，难以实现；分段型AIC以牺牲随机序列的不相关性为代价，通过对等效测量矩阵的后期扩展，可减少相关积分支路,并能够以高概率重构原始信号，性能居中。但是，伪随机解调结构AIC结构简单，可节省硬件资源，因而具有较高的实用价值。下面我们通过仿真来分析验证该结构的可行性和信号恢复性能。

3仿真分析

下面选用正弦脉冲信号为输入信号，并加入高斯白噪声,以｝是FFT来设计伪随机序列发生器pc(t)，重建算法选取OMP贪婪算法，采用Matlab仿真在不同信噪比下的信息提取和信号恢复性能。

3.1信噪比为10dB时

信噪比为10dB时的仿真结果如图4所示。

图4(a)是加入了高斯白噪声的原始输入信号，重建恢复后的波形如图4(b)所示，图4(c)是恢复波形和原始波形的对比,可见重建误差较大，图4(d)是获得的线性测量信息。

3.2信噪比为20dB时

图5(a)是加入了高斯白噪声的原始输入信号，重建恢复后的波形如图5(b)所示，图5(c)是恢复波形和原始波形的对比,可见重建误差较小，图5(d)是获得的线性测量信息。

通过以上仿真结果可以看出：第一，基于压缩感知理论的信号欠采样和重建是可行的；第二，在一定的信噪比条件下,重建误差在较小范围内；第三，随着信噪比的下降，系统性能显著下降。

4结论

由于现实环境中的大部分信号具有稀疏性或可压缩性,压缩感知理论利用信号稀疏性突破了奈奎斯特采样定理。事实上，把从对数据的采集直接转化为对信息的采集，就能以随机采样的方式，并用更少的数据采样点来完美地恢复原始信号。

本文介绍了压缩感知的基本理论，分析了压缩感知在模拟信息转换中的应用，并通过仿真验证了压缩感知理论的实际应用可行性。在射频和宽带无线通信信号的采样和信号检测分析中，基于压缩感知理论的欠采样系统的设计，能降低对高速ADC器件的依赖，可在有效减少数据量的同时，保证近乎完美地重建信号，降低系统资源消耗，提高系统性能。压缩感知理论在无线通信的频谱感知、信道编码、阵列信号处理等方面都得到了广泛的研究，从而推动了无线通信技术的进一步发展。可见，压缩感知具有十分重要的应用价值。

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